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EXPLORAÇÃO DINÂMICA DO TEOREMA DE NAPOLEÃO
 

Este teorema é atribuído a Napoleão Bonaparte (1769-1821), que era muito interessado pela Matemática e especialmente por Geometria (ainda que o facto de Napoleão ter sido capaz de o formular é questionável, segundo H.S.M. Coxeter e S.L. Greitzer, in "Geometry Revisited", página 63).

Segundo o teorema de Napoleão, os centros dos triângulos equiláteros desenhados externamente aos lados de qualquer triângulo definem sempre um triângulo equilátero, designado, precisamente, por triângulo externo de Napoleão - na construção seguinte: [O1O2O3].
Analogamente, concluiu-se que os centros dos triângulos equiláteros desenhados internamente aos lados de qualquer triângulo também definem um triângulo equilátero - o triângulo interno de Napoleão - na construção seguinte: [M1M2M3].

Na construção seguinte, realizada com o programa GeoGebra, poderá movimentar o vértice A, B ou C ao longo da circunferência que os contém (a traço contínuo preto) e verificar a validade deste teorema e, inclusive, constatar que os triângulos interno e externo de Napoleão partilham o mesmo circuncentro (o ponto X).


Na Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das T.I.C." explorámos este teorema com o software C.a.R.Metal, comprovando ainda os seguintes exercícios propostos pelo supracitado "Geometry Revisited":

1.
As rectas AM1, BM2 e CM3 são concorrentes:
(sendo M1, M2 e M3 os vértices do triângulo externo de Napoleão).

 

2.
As rectas A’M1, B’M2 e C’M3 são concorrentes no circuncentro de [ABC]
Esta afirmação torna-se evidente, pelo facto de aquelas rectas coincidirem com a mediatriz de cada lado do triângulo.

 

3.
Se desenharmos quadrados a partir de dois lados de um triângulo, os seus circuncírculos (a verde e a preto) intersectam-se num círculo (azul) de diâmetro igual ao terceiro lado e os centros destes três círculos são vértices de um triângulo isósceles rectângulo (a vermelho):

 

4.
Os circuncírculos dos triângulos equiláteros externos intersectam-se no Primeiro Ponto de Fermat ou Ponto de Torricelli (também chamado de primeiro ponto isogónico). Este ponto (F, na construção seguinte) pode também ser determinado pela intersecção entre [AA’], [BB’] e [CC’], com dimensões iguais.

Foi descoberto por Torricelli (1608-1647), após o desafio proposto por Fermat (1601-1665), para determinar o ponto no plano cuja soma das distâncias a três pontos A, B e C é mínima.
Só é possível determinar este ponto nos triângulos em que nenhum dos ângulos internos é maior do que 120º - na construção seguinte, poderá movimentar o vértice C ao longo do arco circuncircular que contém os vértices A, B e C, mas o ponto F só existirá se C se situar entre os dois pontos vermelhos com a configuração de uma cruz (ambos assinalam a situação a partir da qual um dos ângulos internos do triângulo passa a ter a amplitude de 120º ou superior).

Note-se que os ângulos entre os segmentos que ligam F a A, B e C são iguais a 120º.

 

Fontes consultadas:

  • http://www.geometrias.blogspot.com
  • Coxeter, H.S.M. e Greitzer, S. L. Geometry revisited, The Mathematical Assoc. of America, 1967
  • Veloso, Eduardo Geometria: Temas actuais - Instituto de Inovação Educacional, 2000
  • King, James R. e Schattschneider, Doris (editores) “Geometria Dinâmica” (selecção de textos do livro “Geometry Turned On” by The Mathematical Association of America), Associação de Professores de Matemática, 2003