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CONSTRUÇÃO DA LINHA DE EULER E DA CIRCUNFERÊNCIA DOS NOVE PONTOS
 

O matemático suíço Leonard Euler (1707-1783), um dos melhores e mais produtivos matemáticos da história, descobriu que o ortocentro, o baricentro e o circuncentro de um triângulo são colineares.
A recta que os contém viria depois a ser designada por linha de Euler (desenhada, na construção seguinte, a traço fino preto, contendo o segmento de recta HO) e contém ainda o centro da circunferência dos nove pontos e outros centros importantes do triângulo (que não serão, por agora, referidos).

Convirá salientar, em relação à construção seguinte, que:
- o ortocentro do triângulo (H) é determinado pela intersecção das suas alturas (a traço contínuo ocre);
- o circuncentro do triângulo (O) é determinado pela intersecção das mediatrizes dos seus lados (a traço contínuo vermelho);
- o baricentro (G) ou centróide do triângulo é determinado pela intersecção das suas medianas (a traço contínuo verde);
- A circunferência dos nove pontos (desenhada a traço expressivo azul-claro) contém os pés das alturas (Pa, Pb e Pc), os pontos médios dos lados (A', B' e C') e os pontos médios dos segmentos que unem o ortocentro H a cada um dos vértices do triângulo (Ma, Mb e Mc).
- O centro (9P) da circunferência dos nove pontos corresponde ao ponto médio do segmento definido pelo ortocentro e pelo circuncentro do triângulo (como atestam os traçados auxiliares interrompidos).
- A distância do baricentro ao circuncentro corresponde a um terço do segmento de recta definido pelo ortocentro e pelo circuncentro do triângulo.




Euler demonstraria ainda, em 1765, que o triângulo órtico e o triângulo medial têm o mesmo circuncentro, conforme podemos verificar na construçãoseguinte.
Jean-Victor Poncelet (1788-1867) comprovaria depois que este corresponde ao centro da circunferência dos nove pontos, também designada por círculo de Feuerbach.
Redescobrindo o trabalho de Euler, Feuerbach (1800-1834) provou que a circunferência dos nove pontos intersecta os quatro círculos tritangentes do triângulo (como já vimos aqui).
De referir, ainda, o seguinte:
- o triângulo órtico PaPbPc (desenhado a traço expressivo ocre e preenchido com uma mancha da mesma cor) é definido pelos pés das alturas do triângulo ABC;
- o triângulo medial (desenhado a traço expressivo vermelho e preenchido com uma mancha da mesma cor) é definido pelos pontos médios dos lados do triângulo ABC.


Outra constatação interessante referida por Coxeter e Greitzer no livro "Geometry Revisited" é a de que o terceiro triângulo pedal é semelhante ao triângulo base.

Note-se que triângulos semelhantes:

  • têm lados paralelos. ainda que de dimensões diferentes
  • os ângulos entre pares de lados correspondentes são iguais
  • a razão entre cada par de lados correspodentes é idêntica

A construção seguinte demonstra a sequência de passos necessária para definir aquele triângulo, sendo que P é um ponto qualquer interior ao triângulo [ABC], a partir do qual são desenhados os triângulos pedais. O ponto P pode ser livremente movimentado, ainda que a propriedade enunciada se mantenha apenas quando P não se situa no exterior do triângulo.

Esta propriedade foi analisada por B. M. Stewart que comprovou, em 1940 (Am. Math. Monthly, vol. 47), que o nº triângulo pedal de um polígono de n lados é semelhante ao polígono original.


Fontes bibliográficas consultadas:

  • "Descobrindo e Dissecando um cristal Geométrico" - Douglas Hofstadter (artigo publicado no livro "Geometria Dinâmica" de vários autores, Ed. da Associação de Professores de Matemática)
  • "Geometry Revisited" - H.S.M. Coxeter e S.L. Greitzer (Ed. The Mathematical Association of America)